अनंत श्रेणी ${\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{2}{{1 - {1^2} + {1^4}}}} \right) + {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{4}{{1 - {2^2} + {2^4}}}} \right) + {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{6}{{1 - {3^2} + {3^4}}}} \right) + \dots$ का योग क्या है?

यदि $t_{n} = \frac{1}{4}(n+2)(n+3)$,$n \in N$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?
अभिकथन $(A)$ : $\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} + \ldots + \frac{1}{t_{2003}} = \frac{2003}{3009}$
तर्क $(R)$ : $\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} + \ldots + \frac{1}{t_{n}} = \frac{4n}{3(n+3)}$

$\text{दिया गया है, } \frac{\sin 1^{\circ}}{\sin x^{\circ} \sin (x+1)^{\circ}} = \cot x^{\circ} - \cot (x+1)^{\circ}, \text{ तो } \frac{1}{\sin 45^{\circ} \sin 46^{\circ}} + \frac{1}{\sin 46^{\circ} \sin 47^{\circ}} + \dots + \frac{1}{\sin 89^{\circ} \sin 90^{\circ}} \text{ का मान है}$

श्रेणी $\frac{1}{1 + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{7}} + \dots$ के $n$ पदों का योग क्या है?

उस श्रेणी के प्रथम $n$ पदों का योग क्या है,जिसका $k$-वां पद $k! \times k$ है?

$\frac{1}{3 \cdot 6} + \frac{1}{6 \cdot 9} + \frac{1}{9 \cdot 12} + \dots$ $9$ पदों तक $=$